Поняття похідної, її механічний і геометричний зміст. Алгебра, 10 клас

Операція знаходження похідної називається диференціюванням. Поняття похідної функції  має широке застосування у математиці. фізиці, економіці тощо. Розглянемо її аналітичний, геометричний, механічний зміст.

Означення

Похідною функціїї y=f(x)  у точці х0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Геометричний зміст похідної

Значення похідної в точці  x0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0  і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

k=tgα=f'(x)  кутовий коефіцієнт дотичної з рівнянням  y=kx+b,

y= f(x0) + f'(x0)(x-x0) – рівняння дотичної.

Механічний зміст похідної

Похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин.

Якщо функція S=S(t) описує рух матеріальної точки, тобто залежність пройденої відстані S від часу t ,

то її похідна задає залежність миттєвої швидкості v від часу t ,                                                             S'(t)=v(t);

похідна швидкості відповідно є прискоренням

                                                 v'(t)=a(t).

Надамо у цій публікації таблицю похідних основних функцій та правила диференціювання. Приклади застосування даних понять будут розміщені у наступних постах.

Таблиця похідних основних функцій:

Правила диференціювання функцій: