Найбільше і найменше значення функції на проміжку

Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції найчастіше використовується графік функції. У деяких випадках можна знайти найбільше і найменше значення функції і без допомоги графіка, використовуючи міркування. У більш складних випадках використовується похідна. Для цього сформулюємо деякі теореми.

1. Якщо функція неперервна на відрізку, тоді вона досягає на ньому і свого найбільшого, і свого найменшого значень (ця теорема доводиться в курсі вищої математики).

2. Найбільшого і найменшого значень безперервна функція може досягати як на кінцях відрізка, так і всередині нього.

3. Якщо найбільше (або найменше) значення досягається всередині відрізка, тоді тільки в стаціонарній або критичній точці.

Алгоритм знаходження найменшого та найбільшого значень неперервної функції f(x) на відрізку [a;b]:

1. Знайти похідну f′(x).

2. Знайти стаціонарні та критичні точки функції, що лежать всередині відрізка [a;b].

3. Обчислити значення функції y=f(x) в точках, відібраних на другому кроці і в точках a і b; обрати серед цих значень найменше (це буде yнайм) і найбільше (це буде yнайб).

А як бути, якщо мова йде про знаходження найбільшого або найменшого значення функції, неперервної на незамкнутому проміжку, наприклад на інтервалі? Можна побудувати графік функції і зняти інформацію з отриманої графічної моделі. Але частіше виявляється більш зручним використовувати наступну теорему.

Теорема. Нехай функція y=f(x) неперервна на проміжку X і має всередині нього єдину стаціонарну або критичну точку x0. Тоді:

а ) якщо x=x0 — точка максимуму, тоді yнайб=f(xo);

б ) якщо x=x0 — точка мінімуму, тоді yнайм=f(xo).

Приклад:

Міцність балки прямокутного перетину пропорційна добутку її ширини на квадрат висоти. Який перетин повинна мати балка, витесана з циліндричної колоди радіуса R, щоб її міцність була найбільшою?

Розв'язання. Перший етап. Утворення математичної моделі.

1. Оптимізована величина (О. В.) - міцність балки, оскільки в задачі потрібно з'ясувати, коли міцність балки буде найбільшою. Позначимо О. В. буквою y.

2. Міцність залежить від ширини і висоти прямокутника, що служить осьовим перерізом балки. Оголосимо незалежною змінною (Н. П.) ширину балки, позначимо її буквою x. Оскільки осьовий переріз являє собою прямокутник, вписаний в коло радіуса R (див.рис.), тоді 0<x<2R - такі реальні границі зміни незалежної змінної.

3. Висота h прямокутника пов'язана з його шириною співвідношенням x2+h2=4R2 (за теоремою Піфагора). Отже, h2=4R2−x2.

Міцність балки y пропорційна добутку xh2, тобто y=kxh2 (де коефіцієнт k — деяке додатне число).
Отже,
y=kx(4R2−x2),x∈(0;2R).

Математична модель задачі утворена.

Другий етап. Робота зі складеною моделлю.
На цьому етапі для функції y=kx(4R2−x2),x∈(0;2R) треба знайти yнайб.

Маємо:

y=4kxR2−kx3;y′=4kR2−3kx2.

Критичних точок немає. Знайдемо стаціонарні точки. Прирівнявши похідну до нуля, отримаємо:

4kR2−3kx2=0x1=2R3√;x2=−2R3√.

Заданому інтервалу (0;2R) належить лише точка x1 і причому x1=2R3√ — точка максимуму функції. Отже, за теоремою з пункту 1,

yнайб=f(x1)=f(2R3√)=16kR333√.

Третій етап. Відповідь на питання завдання.

У задачі питається, який перетин повинна мати балка найбільшої міцності. Ми з'ясували, що ширина x прямокутника, що служить осьовим перерізом найбільш міцної балки, дорівнює 2R3√. Знайдемо висоту:

h2=4R2−4R23=8R23h=2R2√3√⇒hx=2√.

Відповідь: перетином балки повинен служити прямокутник, у якого відношення висоти до ширини дорівнює 2√.

Зауваження. Кваліфіковані майстри приходять до такого ж результату, спираючись на свій досвід, але, зрозуміло, вони приймають вказане відношення рівним 1,4 (2√≈1.4).